給指考戰士的：「軌跡圖形」在搞什麼軌？

高中偶爾會出現、被視為boss級的「軌跡圖形」問題，一共分為兩大類 ：

一) 從幾何推論，可以確認其圖形

要把握住這一大類的軌跡圖形問題，就要先掌握「各種圖形的特色 — 充要條件」

圓：圓周上任一點，和直徑兩端夾直角 
    ---> 和A、B兩點夾直角的所有點，形成「以 線段AB 為直徑的圓」

1. 過圓內某點的所有弦，其中點軌跡

2. 過已知點，對「已知圓心、變動半徑」的圓所作的切點軌跡

圓：和某點距離皆為 r 的點，形成一個圓

3. 對已知圓，能作出特定「切線長」的點軌跡

4. 對已知圓，所作兩切線能夾出特定角之點軌跡

5. 過一特定點，並切一已知直線的圓之圓心軌跡

6. 與一已知圓內切，並包含該圓內一特定點的圓之圓心軌跡

7. 與一已知圓外切，並包含該圓外一特定點的圓之圓心軌跡

8. 與兩內離圓同時相切的圓之圓心軌跡

9. 與兩外離圓同時相切的圓之圓心軌跡

10. 與兩直線同時相切的圓之圓心軌跡

二) 你從幾何無法證明，需要從式子推導

當你發現自己無法直接證明該軌跡圖形為何種 (不要亂猜)，請依以下步驟：

0. 留意題目中，會有「兩種已知圖形 (包括 點、線、圓、二次函數圖形等)」，和所求的未知動點 -- 設其坐標為(s,t)。
1. 將未知動點的 s、t「以 已知圖形上的點(a,b) 表示」
2. 透過移項，改為將已知動點 a、b「以未知動點的 s、t 表示」
3. 將上一步的結果 (a,b) 代入它的已知圖形方程式…… 整理成以 s、t 為未知數的方程式，並觀察式子的特性。

沒看懂的話，透過以下的例子來示範吧：

11. 圓上任一點，和已知p點所連線段之中點M的軌跡

12. 與已知兩點「距離比為固定值」的所有點之軌跡 — 阿波羅圓

13. 木棍貼著牆面、地面下滑時，其中點軌跡

14. 木棍貼著牆面、地面下滑時，棍上某等分點之軌跡

這樣會了嗎？ 換你來做做看吧……

第一題上面解了，以下是第二、三題的解答：

「軌跡圖形」的教學/學習，主要有幾個重點：

1. 讓學生習慣「討論動點 — 知道「軌跡圖形」是什麼意思」
2. 複習幾何證明、強化「某種圖形，會有怎樣的 特性 與 定義」
3. 嚐試「推導反函數 — 反過來「用 s、t 表示 x、y」。 」

其實是很值得教啦 — 但是因為滿難的，所以許多學生第一次聽可能都來不及搞清楚「為什麼這題又不一樣？」

要等到複習的時候再聽一遍，可能會比較進入狀況。

尤其指考的題目，會比學測的更重計算一點；所以特別趕在指考前完成這篇，送給有需要的指考戰士們 — 祝你們奪分順利 ^^