◎ 毒蛙 的六道問題一字排開
有很多影片在講解這題；但其中某些「題目設定」和其他的不同；甚至有「設定沒有交待清楚」的情形
而且大部份的解說，和一般網路上常見機率問題的益智文章一樣，主要在說明：
「你可能會以為，兩隻青蛙已知有一隻是公的，那另一隻是母的機率也應該是一半；
但如果從 條件機率 的角度來看，其實是 2/3。」但我認為，作為「教學」，這樣的解說內容是不夠好的…… 因為答錯的人是因為未必不懂條件機率，而是「搞錯了情境」 — 甚至是題目交待不清而造成誤會。
題目有兩個關鍵(會影響機率)：「你不知道剛才是哪一隻在叫」
和「(舔到雄蛙也沒事) 可以一次舔兩隻」
因為不知道哪隻才是公的、而且兩隻裡有一隻是雌蛙就好；所以活命的事件是：
「已知有一隻青蛙是雄性，另一青蛙是雌性的機率」，
那答案是 2/3 (雄雄、雄雌、雌雄，三者中「一雄一雌」占其2)
先比較Q1、Q2「知不知道，叫的是哪隻蛙」的差異
如果說，森林裡有一位土著，他有目睹剛才發出叫聲的是A蛙；因為可以一次舔兩隻蛙，所以仍然是兩蛙中有一隻母蛙你就能活命。
那麼條件就改為：「已知A青蛙是雄性，B青蛙是雌性的機率」，
那答案就是1/2 (雄雄、雄雌，兩者中之一)
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要注意，如果你一次可以舔兩隻，那「你知道A蛙是公的」 和 「以A蛙是公蛙為前提 (計算機率的人知道A是公蛙，但你不知道)
因為不會導致你有不同的作為，所以存活機率是一樣的。
再比較上圖中Q1、Q4「往後走能不能兩隻蛙都舔」的差異
本題：「舔到雄蛙也沒事」+「可以一次舔兩隻」…活命機率是 2/3 。
但如果規定你不能一次舔兩隻，也就是後頭的那兩隻蛙，你只能挑一隻去舔的話； 那你在「不知道哪隻叫」時往後走活命的機率只有 1/3 而已。
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接著看下圖比較
特別留意，在「你只能挑一隻舔」的設定中。 「你知道A蛙是公的」 和 「以A蛙是公蛙為前提 (計算機率的人知道A是公蛙，但你不知道)
就會讓你有不同的作為；因此機率並不相同。
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◎ 新問題
在「兩隻都可以舔」的情況下，
如果旁邊有一個人，他說他知道剛才叫的是哪隻，難道我還要跟他說：
「別跟我講，如果我知道了，存活的機率會下降」 -- 這樣合理嗎？這個質疑，其實是「主觀角度」帶來的謬誤。
我們可以這麼說「旁觀者 (一開始就知道叫的 (雄蛙) 是哪隻) 的眼中，主角的存活機率一直都是 1/2 — 取決於沒叫的那隻是否為雌蛙；
而主角在資訊不足的情況下，以為自己的存活機率是 2/3…… 這樣雖然會讓故事的讀者發現「旁觀者知道得更多，他眼中主角存活的機率卻更小」，而覺得怪怪的。
但…… 誰說旁觀者想要主角存活的？ 如果旁觀者就是死神，他眼中主角喪命的機率(1/2)，比主角自以為的(1/3) 高啊。
知道訊息，的確會影響目前算出來的機率，它可能會讓事件發生的機率變高，也可能會讓它「更無望」。
而機率，本來就只是「藉由給定的資訊，對可變結果的評估」，不同的給定資訊，就會算出不同的機率
— 另一個旁觀者如果早就知道兩隻蛙的性別，他眼裡主角是必死 (或 必活) 的。
我們之所以常會覺得「知道的資訊越多，越有利」這是因為通常伴隨著資訊的更新，我們可以有「不同的對應作為」；
像「只能舔一隻」的情境中，你因為知道了「叫的是哪隻」而能調整你的選擇。
而在「兩隻都可以舔」的情境中，所以得到資訊並沒有帶來好處 — 反而是讓你更絕望一點。
更絕望…但並沒有改變事實；上面的一句話：
// 如果旁邊有一個人，他說他知道剛才叫的是哪隻，難道我還要跟他說：
「別跟我講，如果我知道了，存活的機率會下降」 -- 這樣合理嗎？ //應該這麼回答：「你知道了哪隻是公的，”你以為的存活率”的確會下降； 但那兩隻蛙是公是母，其實早就確定了，你的存活機率 (在能兩隻都舔的設定下) 並沒有因為得到的資訊而有不同。」
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◎補遺
有網友說：1. 叫聲有一半的機率來自A、一半機率來自B。
2. 叫聲來自A時，已知A是公的，而B有一半機率是母的
叫聲來自B時，已知B是公的，而A有一半機率是母的
所以不論叫聲來自哪一隻，都有一半的機率另一隻是母的 -- 往後走存活的機率應該是 1/2我以下圖回應：
如上圖， 「叫聲來自A時，已知A是公的，而B有一半機率是母的」 — 這句話就已經錯了。
反過來說，「B蛙為雄蛙的前提下，叫聲來自A蛙的機率」也非 1/2
總言之、簡言之「B蛙是公蛙」這個事件，和「叫聲來自A蛙」這個事件，並非獨立事件。
網友可能是因為誤以為它是獨立事件，所以有了後續的推論 — 這也是滿有教學價值的，我相信會有這類思路的學生應該不少，所以把這段回應附進來。
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Ps. 毒蛙的問題也罷，底下的「蒙提霍爾問題」也罷，常見的一個麻煩是，出題的人不小心給了不一樣的情境而不自知，或是他漏講一些設定，而讓答題者有錯誤的聯想。
建議要向學生講解的時候，不要只講一種結論、讓學生「好像聽懂、但又不太信服、但又想不清楚……」 這樣反而讓他們對數學感到畏懼。
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◎ 蒙提霍爾問題 ( 山羊 vs 汽車 )
//參賽者會看見三扇關閉了的門，其中一扇的後面有一輛汽車或者是獎品，選中後面有車的那扇門就可以贏得該汽車或獎品，而另外兩扇門後面則各藏有一隻山羊或者是後面沒有任何東西。
當參賽者選定了一扇門，但未去開啟它的時候，知道門後情形的節目主持人會開啟剩下兩扇門的其中一扇，露出其中一隻山羊。(主持人總是選擇「有山羊」的那扇打開)
主持人其後會問參賽者要不要換另一扇仍然關上的門。
問題是：「換另一扇門，會否增加參賽者贏得汽車的機會率？」 //「本來機率是 1/3、後來變 1/2，所以換比較好」 — 錯哦……
因為遊戲規擇就是會打開一扇「山羊」、只留下兩扇，所以在開門後，不論換或不換，機率都不會再是 1/3 了
— 所以說，問題在於：「是否 “不管換不換，機率都是 1/2” 呢？」
「蒙提霍爾問題」 — wiki https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%92%99%E6%8F%90%E9%9C%8D%E7%88%BE%E5%95%8F%E9%A1%8C
建議你先點連結，看看維基裡的說明； 雖然我同樣覺得，以教學的角度它寫得不夠好，但你可以先看完它，我們再接著討論。
。說好的「條件機率」呢？
如果你有點進維基去看解說，會看到維基裡寫的「正確解答」是「換的話，有 2/3 的機率會得到汽車」
但是，如果你充滿積極懷疑的精神，而且願意自己「把心裡的念頭 想到底」，那你會發現，根據條件機率，選擇「換」得到汽車的機率只有 1/2 — 也就是「換、不換，都一樣」
所以說…… 維基寫錯了……嗎？
我可以直接告訴你，維基是對的。
而且我可以告訴你，「科學家用電腦模疑過幾千次後，發現「選擇換，得到汽車的機率，真的是 2/3」
這不科學啊！
好吧，那我再多說一句，除了模擬結果的「現實」是如此，其實從其「原理」上推論，也應該是 2/3 ……
也就是說，上面張圖，其實有錯…… 錯在哪裡呢？ 你能想到嗎？
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◎「條件機率」現實問題的「最大誤區」
條件機率的應用問題，不只是學生常錯，就連老師也可能會解錯 — 通常都是因為，搞不清楚現實問題中的「條件」是什麼。
比如說，「蒙提霍爾問題」 就「不是」條件機率的問題……
蛤？ 真的嗎？
那「已知主持人打開的門裡是羊」呢？ 這不是條件，那什麼才是條件？
— 沒錯，問題就在於「什麼才是條件？」
可以這麼說「條件機率」 的所謂 “條件”，其實「觀察條件 (資訊)」 — 也就是樣本已經發生了，但你只針對其中的「符合觀察條件 (事件B)的一部份」，觀察這部份裡，「屬於事件A的，占多少」；
這樣，算作「已知事件B發生，則事件A發生的機率」= P(A|B)
但「蒙提霍爾問題」 裡面， 「主持人不開你選的那扇門」和「主持人不開有車的那扇門」， 並不是「你觀察的條件」，而是「樣本產生 (實驗操作) 的改變」。
觀察條件：
「你隨機選、主持人隨機開門，已知主持人打開的門是山羊」 ，則選擇「換」或不換，得到汽車的機率都是 1/2 — 像上面的圖所說明的。
操作改變：
「你隨機選、主持人不開你選的那扇、也不開有車的那扇」，則選擇「換」得到汽車的機率會是 2/3 (選「不換」則只有 1/3)
… … 真的嗎？ 真的是差在這嗎？
如果你對我的說法有所懷疑，那你已經邁出了第一步了…… 但這還不夠，你要 試著把自己的念頭想完整！
不過，為了鼓勵你，這次就由我代勞吧：
我們就以最最基本的「一位母親，生了三個小孩」來作範例吧：
這樣有懂了嗎？
-- 必須是樣本已經產生了，但我「只 觀察 符合某些條件」的標的，才能用條件機率；-- 如果是樣本產生的過程，本身就有某些「操作改變」，那就不能算是條件機率。
如果我們以上面「毒蛙」的問題舉例，在「往後走的話，只能挑一隻舔」的設定下
「在A蛙是雄蛙的前提下 (條件機率)」你活命的機率其實是1/4 然而 「在你已知A蛙是雄蛙的前提下」，你活命的機率其實是 1/2
差別就在於，「以A蛙是雄蛙為條件」並不代表你就不會選A蛙。
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ps. 其實我自己也曾經堅持「換不換，機率都是 1/2」，甚至認為是維基寫錯……
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◎ 結語
我一向都認為，排列組合應該慢慢教、機率也應該慢慢教，但高中課綱的排定，實在是教太趕了……
「機率」的 現實應用問題，尤其是難題，良好的解說除了「這樣算會對」、「那樣算是錯的」之外，應該要能讓學習者知道
「為什麼不適用那個算法？ 」
「如果要適用那個算法，問題會改成怎樣？」 (如果有辦法改的話)
教的人要有耐心、學的人也要夠積極 — 要把心中的念頭想下去、也要把面對到的思考困境想清楚。
有的學生會「插科打渾」，看似活潑，但 其實那是一種「逃避」的行為。
當你遇到了思考困難，你的腦袋跑出了一句：「說不定它是外星青蛙、雌雄同體啊！」
然後你把它說出來、笑一笑……你的腦袋就停止思考這個問題了，對吧。
大腦也是需要鍛煉的，想變聰明，就要讓自己沉澱下來、放輕鬆 (你可以去走廊晃晃)，然後想下去。
學生有學生應盡的學習義務；而老師的責任，就是盡可能讓學生更輕鬆、更清楚地學會、內化知識、把知識帶走。
以上，跟大家介紹這兩個，網路上和機率有關的益智難題；希望大家都有學懂 排列組合 和 機率，而且能越學越聰明 ^^
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