學生的困惑,通常不是「不接受定義是這樣」;在大量的練習後,他們通常能接受「定義就是這樣」
— 應該說,太快被迫接受定義了,因而心裡仍然留有抗拒。
如果問他們「什麼是 “向量乘以向量”」 他們會跟你說就是課本上教的,內積那樣算…… 但同時他們又還是會問「為什麼這不叫作乘,而是叫內積」。
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如果學過 程式語言,就會知道同一個運算子,前後放的運算元不同,其運作就不同
例如:「2+3」輸出是5; 而「我+你」輸出是「我你」(前後放字串的話,會把字串接起來)
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不論是「.」還是「x」,這兩個運算子「前後放數字」會怎麼樣? 「前後,一邊放數字、一邊放向量」會怎麼樣? 這兩種的情況學生都已經懂了,接下來,就是要讓他們知道,
“「.」和「x」前後都放向量,會怎麼樣?” 這點其實是數學家共同約好的,而數學家決定的理由,就是「實用」和「和乘法有關」。
然後,在教完內積、外積的時候再講一次這件事,除了解惑,還可以有複習的效果。
事實上,我最常講的「內積的定義」是
「a向量在b向量上的投影量,乘以 b向量的長度」
不過,就像這幾張圖說明的,學生通常並不是「真的聽不懂定義」;
而是心生抗拒、不明白「乘就乘,為什麼要定義成這樣?」
結論: 嚴格說起來,沒有所謂的「向量 乘以 向量」;
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向量之間的計算有很多種,「最實用 & 和乘法最有關係」的
就被允許使用「很珍貴的 “乘法計號” x 和 .」
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