學生的困惑，通常不是「不接受定義是這樣」；在大量的練習後，他們通常能接受「定義就是這樣」
— 應該說，太快被迫接受定義了，因而心裡仍然留有抗拒。
如果問他們「什麼是 “向量乘以向量”」 他們會跟你說就是課本上教的，內積那樣算…… 但同時他們又還是會問「為什麼這不叫作乘，而是叫內積」。
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如果學過 程式語言，就會知道同一個運算子，前後放的運算元不同，其運作就不同
例如：「2+3」輸出是5； 而「我+你」輸出是「我你」(前後放字串的話，會把字串接起來)
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不論是「．」還是「x」，這兩個運算子「前後放數字」會怎麼樣？ 「前後，一邊放數字、一邊放向量」會怎麼樣？ 這兩種的情況學生都已經懂了，接下來，就是要讓他們知道，
“「．」和「x」前後都放向量，會怎麼樣？” 這點其實是數學家共同約好的，而數學家決定的理由，就是「實用」和「和乘法有關」。
然後，在教完內積、外積的時候再講一次這件事，除了解惑，還可以有複習的效果。
事實上，我最常講的「內積的定義」是
「a向量在b向量上的投影量，乘以 b向量的長度」
不過，就像這幾張圖說明的，學生通常並不是「真的聽不懂定義」；
而是心生抗拒、不明白「乘就乘，為什麼要定義成這樣？」
結論： 嚴格說起來，沒有所謂的「向量 乘以 向量」；
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向量之間的計算有很多種，「最實用 & 和乘法最有關係」的
就被允許使用「很珍貴的 “乘法計號” x 和 ．」
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