在這幾年的教學經驗裡，我驚訝的發現，國二以上的學生、老師對於「分數」的概念，和小六以下的學生、老師是截然不同的。
差在哪邊呢？
◎ 國小階段，學生在學過了「真分數」之後，會利用「整除…餘數」的知識 先學「帶分數」，因為商是整數部份、餘數是帶分數的分子。
比如說「7 瓶飲料，分給 3 個人喝，一個人分到幾瓶？」 小學的算法是 「7÷3 = 2……1」，然後答「2又1/3瓶」
◎ 但到了國中，尤其學過理化、學過「指數律」，學生和老師基本上習慣的是「假分數」；
「分數」對他們來說是「相對變動量」、「比例」，例如「斜率」、「速度」；換成帶分數是沒有必要的，維持假分數說不定還可以約分。
例如「男生人數 比 女生人數」是 7：3，比值是 7/3 ，這個時候換成帶分數「2又1/3」，在國中似乎沒什麼用處……
於是，國中以後的老師，或學得較紮實的學生，會把分數視為「被除數/除數」，也就是不需要區隔出整數、餘數。
事實上， 分數寫成 7/3 的那一條斜線，同時就代表著「7÷3」；所以直接就寫「被除數/除數」是很直覺的。 反而是如果被要求，才會需要再去除、取得商和餘，化為帶分數。
學生接連的計算出錯
我因為教了很久的國高中數學，偶爾會再教到小六學生的時候，才發現上述的現象。
我一直以為學生「刻意換成帶分數」，還跟他說不必這樣、直接寫假分數就好。
後來才發現，小六以下的學生，是用整除的觀念先寫出帶分數，然後才因為我的要求而換成假分數的。
好像小六以前，學校老師都還會刻意要求「寫答案時一定要換成帶分數」；
我會特別留意，是發現學生的分數計算上因為「不流暢」而接連出錯。
在「除法……餘數……帶分數」的這個計算過程中，有的學生在除完之後注意力會放在「商」和「餘」上面，結果常常把「分母 = 除數」這件事給忘了。
在我看來，分母會寫錯，等於學生並沒有掌握到「分」的這「數學行為 」 — 但這並非學生的「除、分配」概念沒掌握到，而是計算過程對他而言可能過於繁複、把它的心力給占去了。
如果是非這樣算不可，那當然就只好熟練它、內化它，以求在理解數學概念的同時，又不會因不熟而太有壓力、寫錯； 但「站在一個，國高中教師的角度」來看，「7÷3 = 7/3」是如此地直覺、根本沒有寫錯分數的可能，於是，第一時間我不免覺得國小的這種「先算出帶分數」的教法很多餘。
我上面說到，學生會因為計算繁複而出錯，除了把「7瓶水，三個人分」答成「2又1/7」；
其實在小五以前，如果你問學生「3 瓶水，平分給 7 個人喝，一個人分到幾瓶？」有些人可能會根本答不出來 — 因為「3÷7」沒有商、不夠分，他反而不確定「分子、分母要放什麼」；
或者會在潛意識中，為了迴避不擅長的計算，而說服自己「這題說不定是 7÷3」， 然後回答 「2又1/3」 。
附帶一提，這種「分子、分母要放什麼」其實已經有點「脫離數學概念、而以圖像式背頌」了，學生會有這種錯誤，其實是學習的一個警訊。
「帶分數」的優缺點
但仔細想想，國小數學有它的使命、目的；也許對於國小的數學教師來說，會更希望學生掌握「能夠分到幾份是完整的」這種「概數」的精神吧。
比方說上面講到「男生人數 比 女生人數」是 7：3 = 7/3，如果換成帶分數 2又1/3，其實也有一個用途，就是說明了「男生是女生的兩倍多」
也就是在處理「概數」和「換成小數」上，帶分數的確有它的優勢；甚至「分數加法」時帶分數也有利基沒錯。
但升到國中之後，分數的應用已經不僅止於「判讀」，比「分數加法」更常見的是分數的「乘除」、「連乘約分」、「次方」、「根號」；而這些，帶分數幾乎都派不上用場。
思考過後，我不認為國小、國中的教法有所謂高下之別，應該說是學習階段的不同；但這種介於國小老師、國中老師之間的「思路上的落差」的確對學生造成了一點學習困擾。
有很多學生，其邏輯算不上差，但就在這個「除法、分數」的計算上卡住，然後作業、考試開始有越來越多不會寫。
而且重點是，他們上國中之後，只要一遇到分數的計算，就可能會跟不上老師的推論；
也許就因為這一個觀念上的沒調整好，他就會認為自己是「想太慢、數學不好」的人，但其實未必。
國中老師不容易發現這點，因為學生等到國二之後，的確可能因為反覆地接觸，而漸漸接受了「假分數」的計算思路； 但這個調適的過程，可能是痛苦的，也可能還沒來得及調適過來，學生就放棄數學了 — 這麼一來老師就更難看出，學生一開始卡住的癥結點其實這麼簡單。
做好「直接寫成 假分數」的過渡訓練
因為國中開始，課程難度都可能會變深，所以我認為，小六的數學老師應該負起一個責任，幫學生「從帶分數觀念，過渡到假分數觀念」以利於銜接國中的課程。
但目前看來，好像也沒有課意安排這樣的課綱……
如果放大思考的尺度，我會希望於未來課綱的調整，能把「分數、比、相對變動量、每單位變動量」的概念可以更提早一點、成為小六數學的一章； 然後「斜率」這麼好用的東西也就不必拖到高一、搞得國中理化老師用它也不是、不用也不是……
不過在此之前，還是要勞煩各位 小六、國一的老師，及家長們，多留意你的學生，在分數的計算思路上，有沒有順利的銜接。
照往例，祝大家教的輕鬆、學生學得紮實 ^.^